возможно ли получить Сербское водительское удостоверение, но не отдавать РФ?

Нет, если меняете рос. права на сербские.

Возможно, конечно. Для этого нужно сдать экзамены на сербском языке, предварительно окончив местную автошколу. То есть не менять РФ удостоверение, а получить с нуля местное. Срок его действия будет ограничен сроком действия вашего ВНЖ.