хочу выписаться из квартиры в России. Нужно ли делать это через консульство, или это возможно сделать через монгольские нотариусы?

Пишется заявление о выписке, заверяется в консульстве и отправляется в отдел где вы прописаны.

Вроде через гос услуги можно, в Гугле есть инфа.