Я устроилась на работу в Австрии и работодатель сказал подавать документы самому на разрешение, у кого-то было так? Может кто-то подсказать как это сделать, просто у знакомых это все делал работодатель.

Обычно «утром деньги, вечером стулья». То есть изначально разрешение и только после одобрения вы можете работать. Но из вашего сообщения непонятно какая у вас виза/внж, если ли право на работу.. Если начать работать без разрешения, то работодатель может очень больно по жопе получить, а вы можете поймать бан на год на доступ к рынку труда.