Подскажите пожалуйста, по прилету в Молдову нужно вставать на миграционный учет? Если да, то если заключу договор аренды, он не заменит этот учет?

Не нужно. Как гражданин РФ вы можете тут находиться до 90 дней.

Если прошли через МД таможню, то 90 дней спите спокойно. Если не было заездов в последние 180 дней.