Если пробуду в стране 20 дней, но регистрация в гостиницах будет только на 12-13 дней из этого количества, то в таком случае я нарушаю правило пребывания в Узбекистане?

Отчёт 15 дней начинается с момента пересечения границы, не в совокупности)

При выезде из страны будет штраф, не маленький.

По идее, чтобы не нарушить, у вас должна быть регистрация без пропусков с 14го дня. То есть, если вы приехали, зарегестрировались сразу, а потом забили - это будет нарушение. Нельзя пропускать дни, если вы начали регистрироваться. Второе толкование. Если вы заранее знали, что вы пробудете более 15 дней, то вам надо начинать регистрироваться с первого дня. Это жесткое толкование. В любом случае правило одно - перерегистрация день в день, без пропусков.

Но еще вариант сделать виза ран на границе, в Черняевке на 14 день пребывания. И тогда у вас будет еще 15 дней для легального нахождения.