Можно ли податься на white card находясь в Грузии? Внж нет.

По правилам подача должна быть из страны гражданства или резидентства. Оснований для подачи у вас как бы нет.

Все зависит от того, живете ли вы в Грузии постоянно. Если живете и есть доказательства (аренда квартиры, транзакции банка), то я бы написал вежливое и доходчивое письмо в консульство. Решения по white card принимают не они, они проверяют полноту документов и сканируют их, возможно — разрешат. Тем более, что для легального нахождения в Грузии не нужен ВНЖ.