Подскажите, пожалуйста, "разрешение на вождение моего авто для друга" оно письменное какое-то должно быть или условно я ему говорю "можно" и он водит?

Я бы порекомендовал в страховой компании, в которой оформляли страховку на авто уточнить. Полиция вряд ли будет придираться, а вот если не дай бог дтп, то нужно понимать будет ли она работать, если за рулем не владелец.