как забронить место для кота (купить билет)? В аэропорту сказали, что не надо, но это совсем странно...

До 8 кг не надо, больше то в багаж.

Хотя смотря что за авиакомпания. У хадо, питомцы до 8 кг (с клеткой) можно в ручную кладь + оплатить как за перевес, если больше 8 кг, то только в багаж и оформляется как багажное место.

Бронируйте место обязательно, на сайте или звоните в А/К , а то мест может не оказаться , дают то ли 4-5 мест всего.