Если поехать с животным до ветеринарной клиники, пропустят на постах?

Пустят если быть очень наглым.

Попросите у ветклиники, чтобы они вам прислали смс, что животному нужно срочно попасть в их клинику. Обычно только что-то более материальное, чем уговоры, срабатывает