Приеду в Ташкент на неделю, есть отель. Там сделают регистрацию. За это время хочу найти квартиру - придётся сразу делать перерегистрацию, до конца срока?

Не обязательно сразу, у вас будет минимум 7дней ещё чтобы без регистрации ходить, а дальнейшая регистрация зависит от срока на который вы нашли квартиру, временная онлайн не более 30дней с момента въезда или месяц и более в ОВИре.