Если я въезжаю по голубой карте, снимаю гостиницу на месяц, делаю в ней прописку, в какой момент мне надо подавать доки на ВНЖ? И подав их, могу ли я выехать за пределы Германии?

Скорее всего у вас стоит виза на полгода. Когда подавать зависит от земли, где-то за 2-3 месяца. Скорее всего вы не сразу сможете найти запись и внж в итоге получить позже окончания визы, выезжать в этот период будет нельзя без доп. заморочек. А пока действует ваша виза выезжать можно.