Кто-то платил депозит до въезда в арендованную квартиру? Какой можно документ заключить и подписать? Что-то вроде нашей расписки о получении денег.

Подписанный договор и факт перевода денег является достаточным доказательством. Если вы (вдруг) платите наличными, то пусть продавец сделает приписку на вашей копии договора, что деньги получены. Не рекомендую платить какие либо деньги до подписания договора и физического посещения квартиры.