Скажите, а это правда что трудовой договор с иностранцем, даже подписанный, не вступает в действие до тех пор, пока работник визу не получил? Как это работает вообще?

Трудовые отношения начинаются в день фактического начала работы.

Договор вступает в действие сразу. Но работодатель не может наказать вас за неисполнение ваших обязанностей, если это произошло по не зависящим от вас причинам. Обычно примером подобных причин называют болезнь ребенка или похороны родственника. Но на мой взгляд очевидно, что отсутствие визы также относится к этому списку. В некоторых случаях работодатель даже обязан оплатить вам до 5 таким образом пропущенных рабочих дней в календарном году. В разговорной речи такие прогулы часто называют Kind-Krank-Tage в честь самой популярной причины отсутствия.