можно пенсионеру (моей маме) сделать ВНЖ на мою собственность, или она должна купить/снять свое жилье?

Чтоб оформить по собственности, она должна владеть долей этой самой собственности. Если у вас уже есть ВНЖ и можете показать справку из банка с соответствующей суммой (а она, наверняка, есть, если получили ВНЖ), то маме-пенсионерке могут дать ВНЖ на основании спонсорского письма от вас. Т. е. вы как бы являетесь гарантом ее благополучия. Этот вариант ВНЖ для родителей-пенсионеров достаточно просто оформить, т. к. в этом случае им вообще не нужно ничего покупать или арендовать. Спонсорское письмо на английском, гуглите. Чем подробнее напишите, тем лучше.