Подскажите, для оформления загранпаспорта в Сербии необходимо ли ВМЖ? Забирают ли старый загранпаспорт или оставляют на руках до получения нового?

Если речь про граждан РФ, то для получения нового загранпаспорта ВНЖ не требуется. В принципе нет такого требования в любом консульском отделе РФ в мире. Вы заполняете анкету и там есть пункт в дополнению к уже существующему загранпаспорту. Иначе могут аннулировать предыдущий.