Паспорт действует до конца года. Хочу приехать в Сербию и делать ВНЖ по недвижке. Как лучше поступить: сначала сделать паспорт, и уже потом делать ВНЖ, или можно ВНЖ сделать в старый и он перейдет в новый?

Лучше сделать новый паспорт за две недели. Гражданину РФ не запрещается иметь два действующих загранника. А какой использовать, вы сами решаете.

Сначала сделать загран в России, а потом тут ВНЖ однозначно.

Сделайте новый паспорт на 10 лет, а потом приезжайте.