Пытаюсь записаться на подачу документов на aufenthaltstitel ( в Берлине, т. е.

Нужно попробовать с утра. С 7.30 до 8.00.

Все верно, очень мало окон. Надо постоянно обновлять страницу, окно может появиться во время рабочих часов офиса (посмотрите рабочее время офиса, в который пойдёте, их всего 2). Ещё есть на сайте all about berlin подробная статья на английском про Auslanderbehorde (он же foreigners office)