Есть ли значение по какому паспорту влетать на Кипр для последующего оформлении ВНЖ? Есть израильский и российский с болгарской визой. Если влетаешь по российскому, по нему и нужно оформляться? Или это не связанные вещи?

Не связанные. но не было ни одного прецедента что бы мне сказали что с израильским паспортом что-то оформляется легче/проще. так что можно и с русским, никаких проблем.

Разумеется по тому в котором печать стоит. Но, с израильским явно легче счет в банке открыть.