Если оверстей солидный (от месяца +) при вылете из страны нужно просто оплатить штраф в аэропорту? Или его надо сначала оплатить, а потом уже ехать в аэропорт?

Оба варианта доступны, хотя в аэропорту могут быть два варианта - развернут в миграционку оплачивать (маловероятно) или оплату примут, но наградят запретом на въезд на несколько месяцев.

Лучше через миграционку оплачивать. При оплате в аэропорте могут взять больше денег, и никакие чеки при этом не дают.