У а/к Vietjet при бронировании и оплате билетов онлайн, на их сайте, не спрашивают документы. Как всё происходит при регистрации на рейс?

Это нормально. У них есть стойки для самостоятельной регистрации в аэропорту, там же можно выбрать место, либо уже на самой регистрации.

Да, это нормально для местных рейсов.