Есть ли какая-нибудь русская банковская карта, которую можно пополнить через банкомат в Корее?

Лучше будет вам в Казахстане открыть карту, насколько я знаю, сейчас с Российскими картами проблем много

Union Pay в Корее работает, но вроде только на снятие и не всех банков.

Это вряд-ли, но снимать воны можно в некоторых банкоматах.