Реально ли на Кипре расписаться без справки об отсутствии брака, если я стою в листе ожидания в Российском посольстве уже 3 недели?

Да, но только в Грузии или в самом консульстве РФ - если оба граждане РФ.

В консульстве вроде не выдают справки об отсутствии брака. Вы можете сделать доверенность на кого-нибудь в РФ, переправить её в Россию, и там получить справку из загса, потом вам перешлют обратно.