Кто нибудь знает, гражданин Монголии может ли продлевать пребывание в России? Выше 30 дней.

Если вы находитесь в РФ менее 30 дней, то я бы посоветовал Вам обратиться всё же в местный отдел МВД, так как до 30 дней граждане Монголии точно могут находится в РФ без визы. А вот про продление информации я нигде не нашёл... Похоже, что единственный вариант - это выехать и снова въехать, чтобы "обнулить 30 дней". Ну или искать какие-то варианты с получением визы.

Ранее, до 2020 г., было в целом так: если цель въезда к примеру работа, что указывается в миграционной карте, то основанием продления был трудовой договор иностранца и за.

Соответственно, если въехал для работы, то можно было продлить.