Есть ли возможность открыть банковский счет на Кипре гражданам РФ до подачи документов на ВНЖ?

Нет, нельзя. Только после получения первых бумаг в имигрейшн.

Открыть и пополнять можно, но пользоваться (расходы, переводы со счета, карты) - только когда из миграционной службы отправите менеджеру Ресипт.