сколько дней подряд турист может находиться в эмиратах (в частности в Дубае)? И по истечении этого срока, можно ли съездив в Оман, продлить туристическую визу?

Столько сколько у него виза, и больше без визы тоже можно только придётся штрафы платить, так что лучше не забывать продлевать.

До 90 дней, но считает специальная программа, Вы сами можете в расчётах ошибиться - поэтому по прилёту прям подходить на Паспортный контроли и спрашиваете - сколько у меня дней? Оформить визу (купить) можно и не выезжая из страны, а вот если Вы хотите опять 90 дней бесплатно, Вы должны выехать на 3 месяца из ОАЭ, или больше, это Вам надо уточнять на паспортном контроле.