Могу ли я с правами категории B/B1 брать на Пхукете мопед?

Нет. Здесь А на мопеды.

Брать можете, но иногда могут штрафовать. Этого можно легко избегать, мониторя карту дпс.

Ренталы не просят права. Им пофиг на это, полиция спросит, штраф 500-1000 бат каждый раз. Можно получить тайские права, кстати, очень полезная вещь, кроме прямого назначения.