Паспорт со штампом о въезде в страну летит в Москву для оформления визы третьей страны. В принципе для внимательных сотрудников очевидно, что я там, а паспорт тут. Может это стать причиной проблем?

Вообще многие так получают визы. Например, находятся в Турции, а паспорта отправляют в Москву на болгарскую визу. Хотя по закону, паспорт не может перемещаться без владельца)) то есть третьи лица не могут его провозить через границу.