Подскажите пожалуйста, нужно ли в квестуре показывать договор аренды жилья при подаче документов?

Насколько я помню, могут спросить документ о прописке, а могут и не спросить. Договор ни разу не спрашивали.

По логике, конкретной квестуре нужно убедиться что Вы имеете именно к ней отношение, а не какой нибудь другой . В карте идентите указан Ваш адрес, но это не гарантия, что Вы еще там живете (карта выдается на 10 лет). Поэтому договор разумно приложить сразу, а если его нет - быть готовым что могут спросить.