Какого вида должен быть договор по аренде квартиры, чтобы можно было потом при устройстве, приложить его для внж в Сербии?

Никакой, вы не получите ВНЖ по аренде.

Укнижен дом должен быть. Уточнить у арендодателя, зарегистрирован ли дом и право собственности. если нет, тогда может он будет готов зарегистрировать вас в другом его объекте.