По прилёту на Северный Кипр поставили штамп в паспорт. Будут ли проблемы с открытием шенгена?

При подаче через Грецию – теоретически, могут быть. Остальным странам все равно на этот штамп. Кст, при проезде с севера на юг (нужен шенген/безвиз) могут даже искать этот штамп, чтобы проверить дату въезда.