В консульстве нужно заверить заявление, чтобы отправить в РФ. Подскажите, может можно как-то ускорить этот процесс?

зачем Вам консульство? В СНГ нотариусы кросс государственные. Можно найти нотариуса, который на русском языке всё заверит. Ну по крайней мере с доверенностями и разрешениями это работает точно. С консульством действительно беда в этом плане.