Надо ли прожить 15 дней в Узбекистане, чтобы банковский счет и карту открыть?

Нет.

Сегодня были в капитал банке. Нужно находиться в Уз 15 дней. Потом оформят карту. Отсчёт идёт от даты штампа в паспорте, который пограничники ставили.

Да.

Защита от банковского туризма, вроде есть банки, которые дают раньше, а проживание 15+ дней заранее подразумевает наличие регистрации.