Подскажите, пожалуйста, можно ли после подачи документов на ВНЖ Венгрии путешествовать по Европе по рабочей визе Д/визе Д по воссоединению? То есть без ВНЖ:)

Насколько я знаю, это зависит от того многократная у вас виза или под один въезд(это на визе указано). Ну и это влияет только на въезд, по ЕС вы можете перемещаться если уже въехали.