Подскажите, можно ли выехать в Азербайджан за месяц до окончания срока загранпаспорта?

Можно, но вам придется продлевать его после окончания.

Загранпаспорт должен быть действующий не менее 3 месяц с момента окончания поездки. Если у вас действие паспорта заканчивается через месяц, то вы никуда по нему не влетите. Меняйте паспорт.