Дает ли долгосрочная аренда жилья право на ВНЖ? Можно ли устроить детей, например, в школу Терешковой или любую платную школу без ВНЖ и получить его на этом основании?

Долгосрочная аренда не даёт право на оформление ВНЖ. Учеба детей в школе тоже не является основанием. Но если вы переедете, вы обязаны отдать детей в школу.

Вы интегрировать планируете или на время? Если 1е, то вам нужна сербская школа. «Школа России» - это проблемы при поступлении в дальнейшем в ВУЗ , не в РФ.