Если подал документы на гражданство в Сербии, визаранить нужно? Мне никакой документ не дали, могут ли быть проблемы потом за просроченный срок пребывания?

Нет, после подачи можно не выезжать, должны были выдать бумажку о приеме доков.

Вы путаете гражданство и боравак, имхо. После подачи доков на боравак визаранить не нужно. При подаче на гражданство (по натурализации) вам не нужно было визаранить последние семь лет...