Каким способом можно отправить доверенность из Монголии в Россию?

Проще всего с попутчиками, не совсем безопасно, но точно самый дешевый и быстрый вариант. Также можно транспортной компанией, это будет стоить 10-15 тыс рублей и по времени недели или две. Можно почтой.

С водителем автобуса рейсового попробуйте.