Хотел спросить. Собираемся снимать квартиру. Хозяйка согласна заключать договор, но говорит, что обойдёмся без регистрации.

Странно звучит, может она имеет ввиду что не будет регистрировать (прописывать) вас? Вообще не имеет права по закону, насколько я понимаю А если она не будет регистрировать договор который вы подпишите, то это бессмысленная бумажка, может в любой момент выгнать вас .

С этой квартирой у вас не будет резиденции. Резиденция нужна для получения ПМЖ, регистрации ИП, и т. п. Без резиденции могут быть двойные тарифы на коммуналку. Если собираетесь здесь осесть, лучше найти нормальную квартиру.