Как проходит процедура съёма квартиры? Мне собственник квартиры сказал, что все будем делать через налоговую, так как ему налоги платить, а то проверки ходят.

Все правильно вам сказали.

Самое главное пусть быстро зарегистрирует вас. Если вы только прилетели, у вас есть 15 дней. Если 15 прошло, надо регистрацию срочно. Иначе штраф. Ну или вьезд-выезд.