Можно ли снимать квартиру в Узбекистане парой, девушка и парень, если они не женаты? Слышал, что тут не заселяют если не женаты, просят свидетельство из ЗАГСа даже, это правда? Либо такие правила в отелях только?

Это как правило распространяется только на местные пары.

Сейчас уже можно и в отель и в квартиру, то есть прям законов таких нет, но кто-то локально может принять такое решение, Большей частью спокойно к этому относятся.