А есть ли тут, кто приехал в Сербию с машиной, а права по срокам заканчиваются? Кто-нибудь сталкивался с такой проблемой?

Без машины но права заканчиваются, заменить только в России. В случае проверки будут денежные проблемы.

Если получите ВНЖ, то действующие российские права поменяют на сербские. Иначе - получение нового российского водительского удостоверения только в РФ.

Если есть ВНЖ, можете обменять на сербские.