Скажите пожалуйста, можно ли законно оставаться в Узбекистане, если срок действия загранпаспорта истёк (на оформление нового нужно время), но есть регистрация?

Нет. Но куда вы денетесь? Ни регистрацию поменять не сможете, ни границу пересечь. Более-менее законным основанием вам будет факт приема консульством РФ документов на выдачу нового загранпаспорта.