Нахожусь в Германии по шенгенской визе, хочу начать интегрироваться, 90 дней истекает в середине декабря.

Можно через Казахстан попробовать.

Это проверить можно только опытным путем. Формально при текущей ситуации немцы должны давать в любой стране визу россиянам, т. к. при выезде домой есть известные риски. Но тут возникает немецкая бюрократия - последние ужесточения визовых требований для россиян наглядно это иллюстрируют. Насчет Грузии - там безумно дорогое сейчас проживание, рассмотрите Армению, Казахстан или в конце концов Сербию. И лучше заранее все же списаться с консульствами там - уточнить примут ли вас. Хотя если у вас бюджет анлим , то можете хоть в ОАЭ пробовать)) PS интегрироваться через курсы немецкого невозможно - вопрос как получить ВНЖ, так скорее надо ставить задачу.