Подскажите. Если у меня бабушка гражданка Азербайджана, мне для пересечения границы необходима копия паспорта бабушки, свидетельство о рождении мамы и мое?

Я просто фотографию на тлф показывал паспорта.

Да, только при условии, что фамилии одинаковые (что по материнским линиям очень маловероятно). В противном случае нужна ещё копия свидетельства о браке, где указана новая фамилия.