Скажите плиз, есть ли обязанность заключать договор аренды квартиры в Сербии или это на усмотрение между мной и арендодателем?

По закону обязанность есть, если арендодатель официально на этой площади не проживает. То есть пока вы у него в гостях. По сути же, никто проверять не будет.