Чтоб собственник зарегистрировал на квартире, обязательно договор аренды делать?

В принципе не обязательно, но если есть договор - то это уже его обязанность. а так они пытаются всерую работать.

Нет. Нужны доки на квартиру и паспорта. Но с договором аренды (нотариально заверенным) вы можете прийти и зарегаться без собственника.