Как остаться на Кипре, если нац виза еще месяц действует). Снять квартиру на год? Собирать документы на внж? Для этого нужно на родину возвращаться?

Податься на внж.

Собирать все документы по списку мигрейшена, запросить справку о несудимости( нужна в оригинале), снять кв, перевести электричество или воду на своё имя и если надо открыть счёт в банке, то выписку по счёту и рекомендательное письмо с банке ( не в санкционном списке)