Нужен шенген для поездки в Грецию (шенгена никогда не было), но аппоинтментов до нужных дат физически нет. Есть ли какой-то выход? Оформить в другом посольстве?

Пишите на емейл и звоните с просьбой переноса, шанс есть, но очень небольшой по причине разгильдяйства греческого посольства. Либо через другое посольство делайте визу и въезжайте через ту страну.