Покупка недвижимости в Сербии даёт мне право оставаться там жить с семьёй, верно? Или это все таки неправда?

Подавайтесь на ВНЖ по недвижимости, это и есть основание для проживания. Если просто купите квартиру и не будете оформляться, то визаран каждые 30 дней.

Это таки правда.