Может кто-то знает, можно ли влететь на Кипр без оригинала подачи документов на пинк-слип (бумажки остались на Кипре), на руках только копии о подаче...

Очень большой шанс, что авиакомпания вас не пустит на борт. Копия визового документа - это копия, не оригинал.

Всегда так делаю на паспортном контроле на Кипре. Но авиакомпания может и не пустить.

Если у вас есть шенген, то проблем не будет точно.